Las Matemáticas

EL PENSAMIENTO LÓGICO-MATEMÁTICO

Las matemáticas son, ante todo, una actividad mental.
Tendemos a pensar, erróneamente, que los números, los puntos, las líneas, así como las relaciones entre los objetos y las cantidades, son algo que el niño conoce de forma natural desde siempre, y a enseñarle, de acuerdo con esta idea, unas reglas que, en el mejor de los casos, aprende de memoria sin comprender. A ello contribuye el hecho de que, desde muy pequeño, contesta a la pregunta ¿cuántos años tienes levantando dos o tres deditos y es capaz de decir series de números, incluso hasta cantidades bastante altas, aunque también sea frecuente oírle series como 1-2-3-4-5-8-7 y 10, por ejemplo.

Que un niño repita oralmente series de números o diga los años que tiene no significa que posea la noción del número. Esta se va alcanzando poco a poco, en función del desarrollo cognitivo y en relación con las nociones de cantidad, constancia y reversibilidad, las cuales, como todo el conocimiento, se adquieren a través de la acción, pasando de una situación subjetiva, en la que el niño está centrado en su propio cuerpo y su propia acción, durante aproximadamente los dos primeros años de vida, a otra objetiva, en la que le es posible, en la adolescencia, desenvolverse en un universo abstracto y lógico.

A los 2 años tiene la posibilidad de movimiento, cada vez mayor, y por tanto, de actuar sobre el mundo que le rodea. A base de tanteos, de ensayos y errores va construyendo una serie de esquemas motores, o esquemas de movimientos, que le permiten acceder al conocimiento de la realidad exterior y desarrollar su inteligencia

De modo paulatino va reconociendo objetos y situaciones, calculando distancias, valorando las posibilidades de su cuerpo y la eficacia de sus acciones. Por ejemplo, un bebé que aún no cuenta con la suficiente coordinación viso manual, al realizar una serie de movimientos provocados por la percepción de un juguete atractivo cercano a él, por casualidad lo alcanza.

A esto sucede una serie de situaciones similares en las que el niño repite los movimientos de la misma manera, y consigue iguales resultados. Así se forma un esquema motor que le permite precisar su coordinación y que llegará a utilizar de forma intencionada, con la finalidad de alcanzar ese u otro juguete. La repetición de la acción le ha proporcionado el conocimiento necesario para conseguir su propósito. Este conocimiento se consolida a base de numerosas repeticiones.

A partir de este momento evolutivo, el niño empieza una búsqueda de métodos nuevos, utilizando no ya los esquemas adquiridos, sino otros distintos, bien mediante tanteos exteriores, como antes, bien -y esto es un gran avance- mediante tanteos interiores. El niño va suprimiendo el movimiento real. Primero todavía lo esboza físicamente, hasta que llega un momento en que no lo necesita, porque es capaz de evocarlo, de representarlo mentalmente:

Este proceso es fundamental, ya que constituye el marco en el que se desarrollan todas las situaciones de aprendizaje y muy particularmente el aprendizaje de las matemáticas.

La repetición de la acción le ha llevado al éxito conocimiento

A medida que aumenta su maduración neuropsíquica y, por tanto, sus posibilidades de movimiento, de conocimiento y control de su propio cuerpo, el niño va estableciendo una serie de relaciones entre él y el mundo exterior, entre las cosas, etc., y emprende nuevas acciones que le proporcionaran nuevos conocimientos. Jugando al escondite con objetos, por ejemplo, va a aprender que un juguete, aunque cambie de lugar y de posición, esté debajo de un pañuelo, boca abajo o boca arriba, sigue siendo el mismo juguete, lo cual es el principio de la noción de conservación.

Va a comprobar también que, en sus desplazamientos para buscarlo, puede recorrer un camino hacia un lugar y volver al punto de partida y a la situación inicial, con lo cual, actuando todavía sólo con su cuerpo en un periodo senso-motor, está estableciendo los rudimentos de la noción de reversibilidad, a la vez que comienza una exploración activa del espacio y del tiempo.

Todas estas conductas de localización y búsqueda de un objeto constituyen la base inicial sobre la que se va a desarrollar todo el pensamiento lógico-matemático.

Por otra parte, el niño manipula objetos, los cambia de lugar, los agrupa, los separa, actúa sobre ellos. Es decir, actúa sobre la realidad exterior a él, la transforma de alguna manera, realizando así una actividad preoperatoria.

A partir de los 2 años, y hasta los 7 años aproximadamente, pasa por un periodo de organización en el que dicha actividad se va a convertir en pensamiento operatorio, ligado y dependiente de lo concreto

Opera con la realidad, clasifica objetos según su color o forma, establece relaciones de orden según el tamaño o sus preferencias, percibe cualidades que le permiten establecer diferencias, y estas diferencias son las que le llevan a aprender que hay, muchas, o pocas, cosas en un grupo, y a partir de aquí, que hay más, o menos, que un caramelo es más grande, y otro más pequeño
Durante este tiempo, el niño realiza operaciones concretas, ya que afectan directamente a los objetos, sin llegar nunca a formularlas de forma simbólica.

A los 4 años, la equivalencia es todavía muy rudimentaria y depende del espacio que ocupan los conjuntos de cosas que compara. No es capaz de descomponer un conjunto de unidades y establecer correspondencias una a una entre los elementos que lo forman. Pero, manipulando también, y actuando sobre las cosas, comprueba que puede poner y quitar la tapa a una caja, y que caja y tapa forman un todo que puede dividirse y volverse a unir; que a sus muñecos les puede quitar y poner sombreros y zapatos, etc. De esta forma, llegará a los dos conceptos básicos del pensamiento matemático: la conservación o invariabilidad del número y la reversibilidad de las operaciones. Dos pelotas serán siempre dos pelotas, estén juntas o separadas, rodando o quietas, tengan colores o tamaños distintos. Pero también dos pelotas pueden separarse para volverse a juntar, subir para volver a bajar; es decir, podemos jugar con ellos de mil maneras para, al final, volver a la situación inicial.

A los 7 u 8 años el niño sabe, y puede explicar, por qué una cantidad -sea continua (plastilina, agua) o discontinuo (bolas muñecos)- sigue siendo igual a pesar de los

cambios y transformaciones que sufra. Es capaz de darse cuenta de que la misma cantidad de plastilina puede convertirse en bola, en barra y en bola otra vez, y de que si en ocasiones es ancha y baja, en cambio en otras es estrecha y alta, hay lo mismo. Comprueba que las manipulaciones que hace con ellos puede hacerlas en sentido inverso (la plastilina de bola a salchicha para volver a ser bola y hay lo mismo) Y éstas son las propiedades que caracterizan al número: está compuesto de unidades, y cualquier operación que se haga con él puede invertirse.

Cuando el niño ha adquirido estas nociones, está en condiciones de aprender matemáticas, porque a partir de este momento su pensamiento se estructura de forma que le permite captar estas relaciones, no sólo en el instante exclusivo de la acción, sino en cualquier momento, pues es capaz de evocar, de representarse los movimientos necesarios para realizar la operación, como sucedía en el periodo sensomotor con los intentos de alcanzar objetos. Además, al ser una representación mental, los movimientos no necesitan producirse, como en la realidad, de forma sucesiva -no hacen falta los tanteos exteriores-, sino que lo hacen en la mente de forma simultánea.

Sin embargo, este logro, que constituye el esquema general de toda noción de conservación, no se consigue a la vez en todos los aspectos, ya que el pensamiento se encuentra todavía en un nivel de operaciones concretas, no lógicas, y no es capaz de inferir una ley general que sea aplicable en todas las situaciones similares.

Hacia los 7 u 8 años alcanza la noción de conservación de cantidad, pero recién a partir de los 9 ó 10 años adquiere la nocion de peso, y a 11 ó 12 años la noción de volumen, y ambas después de numerosas y variadas experiencias.

Existen otros factores sin los cuales su enseñanza no sería posible: el espacio y el tiempo.

Noción del espacio

No obstante, a pesar de que, una vez iniciado el periodo de las operaciones concretas, la inteligencia del niño está en disposición de comprender los primeros conceptos matemáticos, los conceptos de espacio y tiempo son básicos para la comprensión de las matemáticas.

El conocimiento del espacio tiene su origen en el conocimiento del propio cuerpo. Al principio el bebé no se distingue a sí mismo del mundo exterior, y sólo existen para él unos elementos aislados, centrados en alguna parte del cuerpo, principalmente la boca y las manos, con los que realiza sus primeras experimentaciones.

Como dice W. Stern: El lactante conquista el espacio próximo merced a sus movimientos y percepciones, Al principio se constituyen espacios de acción aislados, sólo débilmente ligados entre sí (el espacio de la boca, el espacio de presión, etc.). Cada uno de estos espacios forma, al comienzo, un sistema de movimiento egocéntrico dirigido a la actividad propia. Poco a poco, las esferas de acción aisladas (chupar, ver, oír) se ligan unas con otras tan ampliamente que, por fin, hacia la terminación del primero y, sobre todo, al comienzo del segundo año, se origina un sistema espacial Sensorio Motor objetivo: el niño describe, por ejemplo, que podemos ir hacia un punto en el espacio por dos caminos diferentes.

En esta etapa no hay diferencia para el niño entre Yo y no-Yo, todo es lo mismo y sólo va penetrando en el conocimiento del mundo exterior a base de acciones y movimientos corporales con los que se orienta y va constituyendo el espacio que se extiende alrededor suyo. El único punto de referencia que tiene es la actividad, las acciones que realiza con su cuerpo.

A los 2 años el niño tiene un conocimiento fragmentario de su esquema corporal: identifica y nombra algunas partes destacadas (cabeza, ojos, nariz, boca, manos, pies).

Hasta los 3 ó 4años no tiene noción de unidad, aunque sea muy rudimentaria, y hasta los 6 años no se forma una concepción de sí mismo como objeto distinto de los demás.

Las primeras relaciones espaciales que capta están, pues, en relación consigo mismo, con su conocimiento del esquema corporal y sus exploraciones activas. De este modo aprende las nociones de proximidad-lejanía, arriba-abajo (cabeza-pies), delante-detrás (pecho espalda),derecha-izquierda, nociones estas dos últimas que el niño alcanza más tarde debido a su relación con el proceso de lateralización, que no se completa hasta los 6 años. (derecha-izquierda, sólo en sí mismo; no los proyectará en el espacio exterior hasta más tarde, cuando se dé cuenta de la relatividad de las posiciones.

El conocimiento del esquema corporal tiene una importancia decisiva no sólo para establecer las primeras nociones espaciales que, al evolucionar, llevarán al niño al conocimiento de la geometría, sino también para la numeración.

Otros conceptos importantes para el aprendizaje de las matemáticas, relacionados con la idea de espacio, son los de longitud y superficie y la posibilidad de medirlos.

En cuanto a la longitud, el niño tiene, al principio, una tendencia a considerarla de forma subjetiva: un camino será más largo o más corto según sus expectativas respecto a lo que va a encontrar al final, y un edificio será más alto o más bajo según lo que vea de cerca o de lejos.

Hacia los 4 ó 5 años empieza a sentir la necesidad de un instrumento para medir, y el primero que utiliza es, naturalmente, su propio cuerpo, bien entero. bien las palmas de las manos, los brazos, las piernas o los pies. Poco a poco va sustituyendo su cuerpo por un objeto, y a partir de los 7 años se aprecia una tendencia clara a emplear listones, cintas, etc. Así llega a la noción de unidad de medida, que está estrechamente ligada a la de número: un número incluye a los que están seriadamente por debajo de él, Y una determinada ongitud incluye a otra, más pequeña, aplicada repetidamente sobre ella.

Respecto al área o superficie, es un concepto más complejo que incluye la combinación de dos dimensiones y, por tanto, más difícil de conseguir. Inicialmente el niño se fija en una sola dimensión: esta mesa es más grande que aquélla porque es más larga. Habrá que esperar más tiempo para que, a base de ejercicios, llegue a comprender la noción de superficie y la permanencia del área a través de cambios de forma, así como a utilizar unidades de medida para calcularla. Lo conseguirá hacia los 10 años.

Noción del Tiempo:

Es más complejo que la del espacio
Al principio tiene sólo ciertas impresiones relacionadas con situaciones vitales importantes, como la de la alimentación, y organiza los distintos momentos de su vida de acuerdo con estas situaciones que se suceden periódicamente, de forma que una acción puede ser anticipatoria.

Sobre esta anticipación de situaciones, que suelen repetirse todos los días en el mismo orden, se va configurando la noción de tiempo. El orden es, pues, lo primero que se capta, y el tiempo se percibe como una sucesión ordenada de situaciones, de acciones y de transformaciones. Por esto la importancia del establecimiento de rutinas en los niños pequeños que tanto Pediatras como Psicopedagogos insistimos tanto.

Primero, el niño percibe los conocimientos como puntuales, momentáneos, constituyendo una seriación ordenada de elementos aislados. Después, van vivenciándose los intervalos que unen una situación con otra, y se asimila la noción de duración.

Hacia los 4 años los niños pueden distinguir ya la mañana de la tarde, en función de las actividades que realizan durante una y otra, y referirse a algunos acontecimientos temporales.

El que utilice un vocabulario en el que intervienen palabras relativas al tiempo) no quiere decir que hayan adquirido esos conceptos.

Igual que sucedía en lo referente a los números, a los 2 años cuando se le pregunta cuántos años tiene y levanta 2 deditos, no significa que lo sepa, repite lo que le hemos enseñado.

A los 6 años ya comprende lo que significa tener un número determinado de años y que debe añadir uno más cada año que pasa, aunque no tiene todavía idea clara de la duración de ese periodo de tiempo. Sólo a través de la experiencia puede adquirir este concepto.

Los momentos en que está dividida su vida -primero en pequeñas cosas (dormir, levantarse, comer), después en ciclos más grandes (vacaciones de verano, clases) le marcan un ritmo que le proporciona las pautas necesarias para medir el tiempo. Con el cálculo del tiempo ocurre lo mismo que con el cálculo de las dimensiones espaciales. En un primer momento el niño comienza por hacerlo de una forma totalmente subjetiva, según que el intervalo de tiempo haya sido más o menos gratificante, después aparece un interés por averiguar la extensión deesos intervalos: «Cuánto falta para las vacaciones», etc.,

A los 7-8 años puede aprender los días de la semana y los meses del año, así como a interpretar el reloj, aunque no lo comprenda plenamente. Empieza por aprender las horas enteras, después las medias y, más adelante, los cuartos de hora.

Hasta los 9 ó 10 años no sabe explicar por qué hay dos manecillas en el reloj y el significado de cada una.

Hay un aspecto sin el cual seria imposible aprender matemáticas: se trata del lenguaje.

El lenguaje es un medio de comunicación que nos permite expresar algo que existe en la realidad o en nuestra mente por medio de unos signos, fonéticos o escritos. Las matemáticas también expresan, mediante unos símbolos y signos especiales, las operaciones que se realizan en la realidad y en nuestra mente.

El lenguaje es esencial para el aprendizaje matemático, empezando por el lenguaje usual, luego más específico, más simbólico. Incluso éste es posterior al lenguaje escrito, de modo que, cronológicamente, se adquieren por el siguiente orden:

1º Lenguaje oral

2º Lenguaje escrito.

3º Lenguaje matemático.